RELACIONES Y FUNCIONES Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B. Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A. 0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.

Si (x,y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y". Ejemplo 1: Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}. R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B. R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B. R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}. R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7} = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}. R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A. R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A. R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A. R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0. Dominio de una Relación. Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto: D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R} En consecuencia, x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R). x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R). Rango de una Relación. Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto: g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R} En consecuencia, y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R). y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R). Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene: D(R1) = {3, 1, 5} g (R1) = {2, 8, 4} D(R2) = {3} g (R2) = {8} D(R3) = {3, 5} g (R3) = {2, 4} D(R4) = {3, 1, 5} g (R4) = {2, 4, 6} D(R5) = {3, 1} g (R5) = {5, 3} D(R6) = {2, 6} g (R6) = {3, 1}. Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î RÙy < x}. El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S. Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación: "x es menor que y" Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}. D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}. Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B. Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia, (y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R. (y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R. Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A. Relación Idéntica. Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa IA: En consecuencia: (x, y) Î IA Û x Î A Ù y = x. (x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹ x. Ejemplo 7. IR es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.